Модус поненс

Интеллектуальные информационные системы

Лекции

8. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

8.1. Основы логики высказываний.

8.2. Синтаксис и семантика логики высказываний.

8.3. Исчисление высказываний.

Вопросы для самопроверки.

8.1. Основы логики высказываний

Дальнейшие исследования в области логики и разработке формального языка логических рассуждений привели к появлению логики высказываний. Высказывание — это выражение, записанное с помощью определенного синтаксиса, которому можно приписать истинностное значение (либо истина, либо ложь) . Высказывание — более общее понятие, чем суждение. К примеру, выражение «Студент Петров существует» является высказыванием, а не силлогистическим суждением, так как оно не соответствует ни одной из четырех приведенных выше форм суждений.

Последователями Аристотеля были получены четыре правила логического вывода для умозаключений (лат. modus — модус). Различают условно-категориальные и разделительно-категориальные умозаключения. В основе первых лежит правило «если … то …» с истинным или отрицательным антецедентом (посылкой, левой частью) или консеквентом (заключением, правой частью). В основе вторых лежит дизъюнкция (логическое ИЛИ) с истинным или отрицательным первым или вторым утверждением в формуле.

1. Modus Ponens (утверждающий модус). Если из A следует B и A истинно, то и B истинно — .

Пример: Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров присутствовал на всех занятиях по «Представлению знаний в ИС». Следовательно, он получит автомат.

2. Modus Tollens (отрицающий модус). Если из A следует B и B ложно, то и A ложно — .

Пример: Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров не получил автомат. Следовательно, он пропускал занятия по «Представлению знаний в ИС».

Следует отметить, что модусы и являются неправильными (см. таблицу истинности для импликации).

Примеры неправильных модусов.

Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров получил автомат. Следовательно, он не пропускал занятия по «Представлению знаний в ИС». На самом деле возможна другая причина получения автомата.

Если посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС», то можно получить автомат за экзамен. Петров пропускал занятия по «Представлению знаний в ИС». На самом деле он получил автомат, но за другие заслуги.

3. Modus Ponendo-Tollens (утверждающе-отрицающий модус). Если A и B не могут одновременно бы истинными и A истинно, то B ложно — и .

Примеры.

Мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС» или придется сдавать экзамен. Да, мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС». Следовательно, есть надежда на автомат.

Мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС» или придется сдавать экзамен. Печально, но факт — придется сдавать экзамен. Следовательно, можно дальше пропускать занятия по «Представлению знаний в ИС».

4. Modus Tollendo-Ponens (отрицающе-утверждающий модус). Если либо A, либо B является истинным и A ложно, то B истинно — и .

Примеры.

Мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС» или придется сдавать экзамен. Мы будем пропускать занятия по «Представлению знаний в ИС». Следовательно, придется сдавать экзамен.

Мы будем посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС» или придется сдавать экзамен. Есть надежда на автомат. Следовательно, мы будем дальше посещать все занятия по «Представлению знаний в ИС».

Данные правила представляют собой гораздо более общий метод вывода, чем традиционная логика Аристотеля. Они явились первым шагом к созданию логики высказываний. Дальнейшие исследования в области логики связаны с именами Де Моргана, Буля, Фреже, Пеано и других.

8.2. Синтаксис и семантика логики высказываний

В логике высказываний используется следующий синтаксис (символы):

— логические константы – ИСТИНА (И, TRUE, T) и ЛОЖЬ (Л, FALSE, F);

— атомарные высказывания (атомарные формулы, атомарные выражения, атомарные предложения) – обозначаются через прописные буквы латинского алфавита A, B, C и т.д. Например, «Земля вращается вокруг Солнца» (атомарное высказывание, выраженное на естественном языке) можно выразить через А. Атомарные высказывания относятся к константам и могут принимать только значения либо истина либо ложь;

— логические связки (операции, соединители):

— ¬ (~) – отрицание;

— ∧ (&) – логическое И (конъюнкция, логическое умножение);

— ∨ – логическое ИЛИ (дизъюнкция, логическое сложение);

— → (⇒) – импликация (если — то);

— ↔ (⇔, ≡) – эквивалентность;

Таблица 8.1

Логические операции

A B ¬A A ∧ B A ∨ B A → B
¬A ∨ B
A ↔ B
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
И И Л И И И И
И Л Л Л И Л Л
Л И И Л И И Л
Л Л И Л Л И И

Приоритет операций при исчислении формул показан ниже

В скобках показаны операции с одинаковым приоритетом. Если в формуле используются операции с одинаковым приоритетом, то порядок исчисления слева-направо. Изменение порядка исчисления можно добиться за счет использования круглых скобок «( )».

— пропозициональные (логические) переменные – обозначаются через строчные буквы латинского алфавита p, q, r, x, y, z и т.д. Переменные соответствуют атомарным высказываниям или набору высказываний, связанных логическими операциями. Например, пусть дана формула A ∧ (B ∨ C). Тогда ее можно представить через переменные следующим образом:

— p – p соответствует A ∧ (B ∨ C);

— p ∧ q – p соответствует A, q — B ∨ C;

— p ∧ (q ∨ r) – p соответствует A, q — B, r – C.

Процесс подстановки в формулу констант или атомарных высказываний вместо ее переменных называется конкретизацией. Переменные после конкретизации могут принимать значения истина или ложь. Таблица истинности для логических операции с переменными соответствует таблице операций с константами.

Семантика логики высказываний (основные определения).

Правильно построенная формула (формула, ППФ) – одно или несколько высказываний (переменных), соединенных логическими операциями. Результат вычисления формулы истина или ложь. Примеры неправильно построенных формул: A ∨ B →, ¬A ¬∨ C, ↔ A ∧ B и т.д.

Противоречие (невыполнимая формула) – ППФ, значением которой всегда является ложь. Например, A ∧ ¬A.

Выполнимая формула – ППФ, значением которой может быть истина или ложь.

Тавтология – ППФ, значением которой всегда является истинна. Например, A ∨ ¬A. Некоторые тавтологии называют общезначимыми формулами (законами логики высказываний), т.к. они имеют фундаментальное значение и используются при исчислении высказываний. Перед общезначимыми формулы часто ставят знак ╞. Наиболее известными являются следующие законы:

— коммутативные:

— A ∧ B ↔ B ∧ A;

— A ∨ B ↔ B ∨ A;

— дистрибутивные:

— A ∧ (B ∨ С) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ С);

— A ∨ (B ∧ С) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ С);

— ассоциативные:

— A ∧ (B ∧ С) ↔ (A ∧ B) ∧ С;

— A ∨ (B ∨ С) ↔ (A ∨ B) ∨ С;

— законы Де Моргана:

— ¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B;

— ¬(A ∨ B) ↔ ¬A ∧ ¬B;

— закон двойного отрицания:

— ¬¬A ↔ A.

8.3. Исчисление высказываний

Логическим исчислением (исчислением) называют совокупность, которая включает в себя :

— алфавит (совокупность используемых символов);

— синтаксические правила построения формул;

— аксиомы – общезначимые формулы;

— правила вывода по аксиомам производных формул или теорем.

Для того чтобы использовать методы логики высказываний применительно к конкретной предметной области, сначала необходимо проанализировать структуру этой области. При выполнении анализа отыскиваются атомарные высказывания, действующие в ней, и логические взаимосвязи, существующие между ними. После отбора соответствующего множества таких атомарных высказываний следует подобрать обозначения (например, символы А, В, С и т.д.) для представления каждого из них. После этого становится возможным описание логических взаимосвязей между ними, что достигается посредством использования ППФ, сконструированных из соответствующих обозначений. Множество ППФ, сгенерированное таким путем, называется теорией заданной области знаний, а каждая отдельная ППФ именуется аксиомой.

Основная цель построения теории заключается в описании нужных знаний столь экономичным способом, насколько это возможно. Если теория адекватно описывает заданную область знаний, то все факты (заключения) из области знаний, являющиеся истинными, будут следствиями аксиом этой теории, а ни один факт, являющийся ложным, не будет следствием данных аксиом. Если все истинные факты из заданной области знаний являются следствиями теории, то такая теория называется полной. Если из аксиом теории нельзя вывести противоречия, то теория называется последовательной.

Выводом в теории Т называется всякая последовательность формул ППФ1, ППФ2, …, ППФi такая, что для любого i формула ППФi есть либо аксиома теории T, либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул. Факт выводимости одной формулы из других показывается с помощью знака ├. Например, ППФ1, …, ППФk ├ ППФm.

Классическое исчисление высказываний использует два правила вывода.

Правило 1. Modus Ponens – A, A → B ├ В. Из истинности условия импликации и истинности самой импликации следует истинность следствия импликации.

Правило 2. Правило подстановки – ППФ(р) ├ ППФ(Р). Из формулы ППФ(р) выводима формула ППФ(Р), получающаяся подстановкой формулы P вместо каждого вхождения переменной р.

Этим термином средневековые логики обозначали разделительно-категорическое умозаключение:

А или В; неверно А

В

Или:

А или В; неверно В

А

Другая форма записи:

А или В. Не-А. Следовательно, В.

А или В. Не-В. Следовательно, А.

Пример.

Множество является конечным или оно бесконечно.

Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

Иногда эту схему рассуждения именуют дизъюнктивным силлогизмом.

С использованием логической символики умозаключение формулируется так:

A v B, ~ A

В

Или:

A v В, ~ В

А

В современной логике модус толлендо поненс называется также правилом удаления дизъюнкции.

Энтимемы

В обычных рассуждениях нередки силлогизмы, в которых не выражается явно одна из посылок или заключение. Такие силлогизмы называются энтимемами.

Примеры энтимем. «Щедрость заслуживает похвалы, как и всякая добродетель», «Он – ученый, поэтому любопытство ему не чуждо», «Керосин – жидкость, поэтому он передает давление во все стороны равномерно» и т.п.

В первом случае опущена меньшая посылка «Щедрость – это добродетель», во втором – большая посылка «Всякому ученому не чуждо любопытство», в третьем – опять-таки большая посылка «Всякая жидкость передает давление во все стороны равномерно».

Для оценки правильности рассуждения в энтимеме следует восстановить ее в полный силлогизм.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *