Следование

СЛЕДОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКОЕ – отношение между некоторым множеством высказываний Г (гипотез) и высказыванием В (заключением), отображающее тот факт, что, в силу только логической структуры названных высказываний и, значит, независимо от их содержания нельзя приписать всем высказываниям из Г значение истинно, не будучи при этом быть вынужденным приписать это значение и высказыванию В. В этом случае говорят о логическом следовании В из Г в семантическом смысле и записывают этот факт как утверждение Γ⊧В, читаемое: из Г семантически следует В.

В формализованных логических теориях (исчислениях) выражение Г⊧В обозначает, что формула В этого исчисления в рамках принятой семантики является истинной (обобщенно для многозначных логик: принимает выделенное значение) всегда, когда являются истинными (принимают выделенные значения) все формулы из Г.

В рамках логики, фиксирующей нормы логических рассуждений с помощью формализованных теорий (логических исчислений), говорят об отношении логического следования в смысле выводимости В из Г в некотором исчислении Т. Символически это записывают как Г⊢В с указанием, если необходимо, о каком исчислении идет речь. Г⊢В представляет собой метаутверждение о существовании построенной по определенным правилам конечной последовательности формул, называемой выводом из гипотез (см. Вывод логический), в которой последняя формула есть В. При наличии такой последовательности и говорят о логическом следовании В из Г в смысле выводимости. Если при построении последовательности оказывается возможным обойтись без использования посылок, то говорят, что В логически следует из пустого списка гипотез, что принимают как факт его логической доказуемости, в том смысле, что В является теоремой исчисления Т (символически: ⊢В). Логические исчисления и определение в них вывода из гипотез строятся с таким расчетом, чтобы в рамках принятой для исчисления семантики условия истинности формул Г гарантировали истинность В. Более строго, семантика должна исключать случаи, при которых все входящие в Г формулы были бы истинными, а В было при этом ложным. Утверждения Г⊢В могут быть использованы как правила логики для высказываний с логической структурой, которую отображают соответственно формулы из Г и формула В.

В классической логике множества верных утверждений вида Г⊢В и Г⊧В совпадают в том смысле, что каждому Г⊢В соответствует Г⊧В и наоборот.

Выражение ⊧В трактуется как утверждение о семантической истинности (общезначимости, тавтологичности В). Из понимания логического следования в семантическом смысле вытекает, что в случае семантической истинности В, мы должны признавать верным Г⊧В и А⊧В для любых Г и А. Иными словами, общезначимая формула следует из любой. Ясно также, что из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулы ∙А (a также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула В. При понимании логического следования в смысле выводимости мы должны признавать верным всякое утверждение А⊢В, в котором В – теорема исчисления, или А – отрицание теоремы. Эти принципы, связанные с классической трактовкой логического следования, выглядят достаточно странными как с интуитивной точки зрения, так и с позиций традиционного понимания, и не случайно в связи с этим говорят о парадоксах классического понимания следования.

В некоторых случаях такого рода парадоксальность препятствует адекватному логическому анализу содержательных связей между высказываниями и других требующих содержательного подхода вопросов. Встает задача устранения парадоксов. При необходимости можно, хотя здесь есть свои трудности, построить исчисление, которое не позволяло бы получать утверждений вида Г⊢В, признаваемых парадоксальными. При этом, однако, надо либо отказаться от совпадения классов утверждений о логическом следовании в двух указанных смыслах, либо изменить семантику логических связок, либо изменить понимание логического следования в семантическом смысле. Необходимо также изменить понятие вывода из гипотез, чтобы теоремы исчисления нельзя было рассматривать как следствия из произвольных гипотез. Примером проблем, которые возникают на пути решения перечисленных задач, трудностей с которыми приходится сталкиваться при их решении, служит история становления и развития релевантной логики. Говоря о проблеме логического следования, имеют ввиду не только уже названные вопросы. Все перечисленные трудности и проблемы значительно усложняются, когда логическое следование пытаются описать (формализовать) (см. Формализация) в объектном языке самих исчислений, за счет введения в этот язык соответствующей импликации. Теоремы таких исчислений в этом случае выступают как утверждения о следовании из утверждений о следовании же. Многие исследователи выступают против такой интерпретации импликации на том основании, что это влечет к смешению языка и метаязыка. Импликация объектного языка, по их мнению, выражает различного типа условные связи, включая и необходимую, порождаемую отношением логического следования. Различные подходы к формализации логического следования привели наряду с классической теорией материальной импликации к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.

Литература:

1. Сидоренко Е.А. Логическое следование и условные высказывания. М., 1983.

Е.А.Сидоренко

Отношение логического следования положено в основание всей дедуктивной логики. Сказанное относится и к логике высказываний.

Пусть а и /3 обозначают соответственно множества формул, образующих посылки и заключение доказательства в Л В. Тогда справедливо следующее определение:

заключение /3 логически следует из посылок а, если и только если

в каждой интерпретации (в каждой строке таблицы истинности формулы (аэ /3)), в которой истинно а, также истинно заключение Д

Очевидны следующие свойства отношения логического следования в ЛВ.

Теорема 2. Заключение /3 логически следует из посылок а, если и только если формула (а з /3) логически истинна (истинна во всех своих интерпретациях).

Доказательство. Допустим, заключение /3 логически следует из посылок а. В тех строках таблицы истинности, в которых истинны все посылки а, также истинно и заключение /3 согласно определению логического следования. В тех строках таблицы истинности, в которых

1 Аббревиатура от (лат.) quod erat demonstrandum — «что и требовалось доказать».

по крайней мере одна из посылок ложна, конъюнкция посылок а ложна, но формула (аэ р) истинна по определению импликации. Значит формула (а з Д) истинна во всех строках таблицы истинности, т. е. логически истинна.

Если формула (а з р) логически истинна, тогда все строки ее таблицы истинности содержат значение «истина» и, следовательно, во всех строках, в которых истинны посылки а, истинно также и заключение р. Значит, ^логически следует из a, QED.

Теорема 3. Заключение р логически следует из посылок а, если и только если формула (а & р) логически ложна (ложна во всех своих интерпретациях).

Доказательство. Согласно теореме 2 заключение р логически следует из посылок а, если и только если формула (аэ р) логически истинна. Но формулы (аз р) и (а& -^р) противоречат друг другу, и если одна из них истинна, другая должна быть ложной. Значит, заключение р — логическое следствие посылок а тогда и только тогда, когда формула (a &.-iр) ложна во всех строках таблицы истинности формулы (аз Р)} т. е. логически ложная. Обратное следование доказывается аналогично, QED.

Рассмотрим следующее рассуждение, содержащее доказательство: «Сегодня понедельник или вторник. Если вчера не было воскресенья или понедельника, то неверно, что сегодня понедельник и неверно, что сегодня вторник. Значит, вчера было воскресенье или был понедельник». Формализуем его. А — «Сегодня понедельник», В = «Сегодня вторник», С — «Вчера было воскресенье», D — «Вчера был понедельник». Формализованное рассуждение имеет следующий вид:

Формулы а = символизируют посылки доказательства, формула Р — (С v D) — его заключение.

Для проверки того, насколько приведенное доказательство корректно, необходимо убедиться, что заключение логически следует из посылок. Это можно сделать тремя разными способами.

Во-первых, следуя определению логического следования, можно проверить, во всех ли строках таблицы истинности, в которых истинны посылки а, также истинно и заключение р. С этой целью необходимо построить таблицу истинности для формул аир (табл. 6.5).

В заключительном, двенадцатом столбце посылки а истинны в первой, второй, третьей, пятой, шестой, седьмой, девятой, десятой и одиннадцатой строках. Заключение Р истинно в этих же строках и, кроме

В

С

(И V В) & (-.(С v D) э (—iA & В)))

(CvD)

т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

т

Т

т

Т

Т

Т

т

т

Т

Т

т

т

Т

Т

т

т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Г

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

того, в тринадцатой, четырнадцатой и пятнадцатой строках. Значит, в данной таблице истинности не существует ни одной строки, в которой посылки а были бы истинны, а заключение Р ложно. Следовательно, если доказательство корректно, то невозможно, чтобы посылки были истинны, а заключение ложно. Но именно в этом и состоит смысл отношения логического следования.

Во-вторых, согласно теореме 2 можно проверить, представляет ли импликация (аз Р) логическую истину. Для проверки этого предположения построим таблицу истинности для данной формулы (табл. 6.6).

Из таблицы следует, что заключительный, тринадцатый столбец содержит только значение «истина». Стало быть, импликация (аз р) представляет тавтологию, или логическую истину.

В-третьих, следуя теореме 3, можно проверить, совместимы ли посылки с отрицанием заключения, т. е. будет ли формула (а & -.Д) логической ложью. Для проверки этого предположения следует построить таблицу истинности для конъюнкции посылок с отрицанием их заключения (табл. 6.7).

Если заключение необходимо следует из посылок, то последние не могут быть совместимы с его отрицанием. То, что это именно так,

В

С

((A v В) & ЫС v D) D (-ъ4 & -пД))) Э (С v D)

т

т

Т

Т

Т

Т

т

Т

т

т

т

т

т

Т

т

Т

т

т

т

Т

т

т

т

т

Т

т

т

т .

т

Т

Т

т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Г

Т

т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

Т

подтверждает табл. 6.7. Ее заключительный, четырнадцатый столбец содержит только значение «ложь», что доказывает справедливость сделанного предположения.

Таким образом, проверка показала, что заключение логически следует из посылок, если и только если импликация (а => р) логически истинна.

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ одно из основных понятий логики, выражающее отношение (отношение логического следования) между высказываниями, зависящее от их логического содержания. Согласно принятому (в классической логике) определению, высказывание В есть Л. с. высказывания А (или множества высказываний Г), если, и только если, при любых значениях переменных в их логических формах В’, А’ (Г’) (иначе говоря, при любых изменениях конкретных содержаний В, А или Г) В’ не может быть ложным, когда истинно А’ (все выражения Г’). Это понятие Логического следствия не вполне соответствует интуитивному употреблению в практике научного познания термина «Логическое следствие». Это несоответствие проявляется в так называемых «парадоксах» следования (из противоречивого высказывания следует любое, и логически истинное следует из любого высказывания). В 60-х гг. 20 в. возникло новое направление в логике — релевантная логика, основной целью которой является выработка более точного понятия Логического следствия (здесь отношение Логического следствия понимается исходя из того, что логическое содержание В есть часть логического содержания А). С понятием Логического следствия непосредственно связано понятие логической правильности рассуждений (Правильность и истинность). Логическое следствие имеет важное значение для определения ряда понятий логики научного познания (закона науки, научного объяснения и др.).

Философский словарь. Под ред. И.Т. Фролова. М., 1991, с. 228.

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

  • Реферат

    От 250 руб

  • Контрольная работа

    От 250 руб

  • Курсовая работа

    От 700 руб

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Основная задача логики – систематизация правил, позволяющих из имеющихся утверждений выводить новые.

Логическое следование – это отношение, существующее между посылками и обоснованно выводимыми из них заключениями. Логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики, которую нередко характеризуют как науку о том, «что из чего следует».

Будучи исходным, понятие логического следования не допускает точного определения. В частности, описание его с помощью слов «видимо», «вытекает» и т.п. содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова «следует». Понятие следования обычно характеризуется путем указания его связей с другими логическими понятиями, и прежде всего с понятиями логического закона и модели.

Из высказывания А логически следует высказывание В, когда импликация «если А, то В» является частным случаем закона логики.

Отличительной чертой логического следования является таким образом, то, что оно ведет от истинных высказываний только к истинным. Предъявление к нему требования не позволять получать ложные заключения из истинных посылок объясняется теоретико-познавательными соображениями.

Теории логического следования не содержат правил, позволяющих перейти от истинных посылок к ложному заключению.

В индуктивном умозаключении связь посылок и заключения опирается не на закон логики, а на некоторые фактические или психологические основания, не имеющие чисто формального характера.

В таком умозаключении заключение не следует логически из посылок и может содержать информацию, отсутствующую в них. Достоверность посылок не означает поэтому достоверности выведенного из них индуктивно утверждения. Индукция дает только вероятные, или правдоподобные, заключения, нуждающиеся в дальнейшей проверке.

Индукция не дает полной гарантии получения новой истины из уже имеющихся. Максимум, о котором можно говорить, – это определенная степень вероятности выводимого утверждения. Так посылки и первого и второго индуктивного умозаключения истинны, но заключение первого из них истинно, а второго – ложно. Действительно, все латиноамериканские государства – республики; но среди западноевропейских стран имеются не только республики, но и монархии, например Англия, Бельгия и Испания.

Все металлы пластичны.

Медь – металл.

Медь пластична.

Во всех случаях, когда требуется рассмотреть какие-то явления на основании уже известного общего правила и вывести в отношении этих явлений необходимое заключение, мы умозаключаем в форме дедукции. Рассуждения, ведущие от знания о части предметов (частного знания) к знанию обо всех предметах определенного класса (общему знанию), – это типичные индукции. Всегда остается вероятность того, что обобщение окажется поспешным и необоснованным («Наполеон – полководец; Суворов – полководец; значит, каждый человек полководец»).

Нельзя вместе с тем отождествлять дедукцию с переходом от общего к частному, а индукцию – с переходом от частного к общему.

В рассуждении «Шекспир писал сонеты; следовательно, неверно, что Шекспир не писал сонетов» есть дедукция, но нет перехода от общего к частному. Рассуждение «Если алюминий пластичен или глина пластична, то алюминий пластичен» является, как принято думать, индуктивным, но в нем нет перехода от частного к общему.

Дедукция – это выведение заключений, столь же достоверных, как и принятые посылки, индукция – выведение вероятных (правдоподобных) заключений. К индуктивным умозаключениям относятся как переходы от частного к общему, так и аналогия, методы установления причинных связей, подтверждение следствий, целевое обоснование и т. д.

Подчеркивая важность дедукции в процессе развертывания и обоснования знания, не следует, однако, отрывать ее от индукции и недооценивать последнюю. Почти все общие положения, включая и научные законы, являются результатами индуктивного обобщения. В этом смысле индукция – основа нашего знания. Сама по себе она не гарантирует его истинности и обоснованности, но она порождает предположения, связывает их с опытом и тем самым сообщает им определенное правдоподобие, более или менее высокую степень вероятности. Опыт – источники фундамент человеческого знания. Индукция, отправляющаяся от того, что постигается в опыте, является необходимым средством его обобщения и систематизации.

Внимание! Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *