Недавно я публиковал текст о «бесконечности», которую с удивлением разглядел на стене в туалете. Тема интересная, и сегодня, попивая чаек, ко мне пришло еще несколько занимательных мыслей на тему вечности и бесконечности, которыми я хотел бы здесь поделиться. В этой небольшой статье я совершенно безуспешно попытаюсь очередной раз ответить на вопрос о том, что вечность и бесконечность собой представляют.
В детстве впервые лет в пять я задумался о бесконечности. Помню, что в какие-то моменты, когда получалось понять, о чем собственно я вообще задумываюсь, в сознании мелькало ощущение одновременно тревожное и удивительное. Это что-то вроде осознания, что в нашем нормальном мире есть как минимум одно очевидное чудо. Ведь бесконечность это — не просто какое-то «очень большое» пространство. Даже такое определение бесконечности, как «все вообще» не подходит. Потому что фигуральное «все» — может иметь какие-то размеры, или ограничения, как скажем, все деньги мира. Но бесконечность…
Можно ли объяснить бесконечность логически, не прибегая к сравнениям? Самое простое, что приходит на ум: бесконечность – то, что никогда не кончится. Если объект полетит по вселенной, и не встретит препятствий, даже на скорости света он будет лететь всегда – то есть вечно. Вечность – еще один необъяснимый парадокс.
Такие объяснения – лишь очередное сравнение, построенное на ограниченных опорах ума. Объект будет лететь вечность, потому что у реальности нет краев и ограничений. Что же это за такой «край» реальности? Еще одно чудо? Ничем, необъяснимый край реальности? Все это чепуха. На уровне ума я не знаю, что такое бесконечность.
Самое большое, что может представить ум, таки будет оставаться концептуальным воздушным шариком на фоне бесконечности, который при попытке стать чуть больше положенного моим умом, тут же лопается. Все, что близится к реальному пониманию бесконечности, граничит с пределами познаваемого умом, и слегка за эти пределы выходит.
Итак, о самой бесконечности сказать почти нечего. Можно лишь говорить о ее следствиях. Например, если бесконечность не имеет ни начала, ни ограничений, соответственно, она не имеет никакого местоположения. Получается, относительно бесконечности не может быть никакого движения, потому что у нее нет никаких координат. И если мы в этой бесконечности пребываем, значит, нас по большому счету просто не существует, потому что, коль все познается в сравнении, то в сравнении с бесконечным, любая форма равносильна пустоте.
Еще один любопытный вывод, который напрашивается – это количество форм в бесконечности. Сколько, например, как вы считаете, в бесконечности ваших копий? Сколько в бесконечности астероидов в форме вашей головы размером с футбольное поле? Сколько может быть в бесконечности идеально одинаковых, совпадающих до атома вселенных? Ответ на все эти вопросы – одинаковый, непростой для ума, но логически он напрашивается сам собою: в бесконечности количество любых объектов равняется бесконечности, потому, что бесконечность не имеет конца. Она продолжается и продолжается за пределами всех ограничений.
В бесконечности есть все. В бесконечности есть все немыслимые чудеса. В бесконечности есть место всему, и это все есть, потому что все – это то, что есть. Масло – масляное, потому что такова его природа. Бесконечность – это все, что только может быть и даже то, чего быть не может. Все ограничения, которые мы ощущаем – лишь мимолетные мысли маленького человека. На progressman.ru есть отдельная статья о человеческих переживаниях на фоне бесконечности.
Нам просто очень сложно по-человечески понять, что мир не ограничивается пределами нашего ума. На самом деле наши знания о мире – бесконечно малы. Любое ограниченное знание будет бесконечно малым. Все, что не является бесконечностью, в своей сути является ничем. Если представить себе число километров с количеством нулей равным количеству миллиметров в длине нашей галактики, затем возвести это число в степень, равную ему же, то даже это число будет пустотой в сравнении с бесконечностью.
А что, если «наша» бесконечность не является настоящей? Что, если наша реальность подобна ленте Мебиуса, или бесконечной дроби? Но и это было бы не меньшим чудом. А сколько таких лент и дробей в бесконечности?
Однажды один человек спросил меня: «если бы у тебя была возможность, выбрать телепорт (который может перемещать тебя, куда угодно), или машину времени, чтобы ты выбрал?» Я тогда был за телепорт, но затем немного подумал, и понял, что это – одно и то же. Вечность – это бесконечность, протянутая во времени. О вечности можно сказать все то же самое. В вечности было и будет все, что может быть и чего быть не может.
Эта жизнь, все эти люди и события уже были, и были всегда. Возможно, дежавю – это воспоминание самой реальности о себе. Здесь, чисто по-человечески, не совсем понятен замысел происходящего. В чем смысл жизни и зачем вечности нужны люди на своей маленькой планете? Если было и будет все, и если все повторяется, зачем нужна такая «дурная бесконечность»? Возможно, так жизнь ищет свой «идеальный» вариант. Мы не можем этого знать, но возможно, каждая секунда вечности происходит по четкому плану, без которого мы — люди попадали бы, словно неуклюжие куклы без нитей, ведущих к «рукам» кукловода вечности.
Такие вот эпохальные «опусы» о бесконечной бесконечности и вечной вечности. Здесь, конечно, я нигде не претендую на истинность сказанного. Все это просто рассуждения за чашечкой чая. А что Вы думаете о вечности и бесконечности?
БЕСКОНЕЧНОЕ (бесконечность) – философское понятие, обозначающее безграничность и беспредельность как в бытийственном, так и в познавательном смысле. Вопрос о бесконечном возникает на всем протяжении истории культуры в самых разнообразных формах. Одна из самых непосредственных – проблема бесконечности (или конечности) мирового пространства, времени, количества вещей в мире. Сюда же относится и вопрос о возможности бесконечного деления континуума, выделения в нем точек. Наконец, более изощренной логической техники требует обсуждение вопроса о существовании разных «типов» бесконечного. Вопрос о логической и онтологической природе бесконечности, о ее статусе в Боге и в тварном мире получал разные решения и обоснования в философии, истории науки и теологии.
АКТУАЛЬНАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Русское слово «бесконечное» имеет смысл отрицания: бес-конечное есть не конечное (аналогично и лат. mfinitum). Но это отрицание можно брать двояко: или как частичное отрицание – то, что может превзойти любое конечное, или как полное отрицание – то, что актуально превосходит любое конечное. Уже в схоластике 13–14 вв. (В.Шервуд, В.Хейтесбери) это различие осознается и обозначается (как синкатегорематическая и ка-тегорематическая бесконечность соответственно). Из схоластики же (Григорий из Римини) идет и другое наименование этих двух разных подходов к бесконечному – потенциальная и актуальная бесконечность. Это различение было исходным пунктом и у создателя теории множеств Г. Кантора. Бесконечность, по Кантору, можно брать или как процесс – как увеличение, напр. натуральных чисел, удвоение длины отрезка, либо, наоборот, как уменьшение, деление данного отрезка на все более мелкие части, – или как актуально данное законченное множество (или величину). Бесконечность как процесс не является, по Кантору, бесконечностью в собственном смысле: в каждой фазе этого процесса, хотя и безграничного, мы имеем дело лишь с конечной величиной, а в целом – с переменной конечной величиной. Эта «несобственная бесконечность» и называется потенциальной бесконечностью. Если же мы берем бесконечное множество как нечто целое, актуально данное, не связанное ни с каким процессом, как, напр., в случае, если мы рассматриваем множество всех натуральных чисел или когда мы рассматриваем завершенный результат бесконечного деления отрезка на более мелкие части (как бы ни парадоксально было предположение подобного рассмотрения), в этом случае имеем дело с собственно бесконечным, или с актуальной бесконечностью. Заслугой Кантора была его критика имеющих тысячелетнюю историю аргументов против существования бесконечности, основанных нередко на смешении актуальной и потенциальной бесконечности.
Таковы были прежде всего аргументы, восходящие к Аристотелю. Так, напр., когда говорилось, что понятие бесконечности противоречиво, т.к., с одной стороны, оно должно представлять собой определенное количество, а с другой – любое количество превосходить, то, как объяснял Кантор, здесь налицо было смешение понятий актуально и потенциально бесконечного. Именно последнее, рассматриваемое как процесс, превосходит любое конечное количество. Если же мы рассматриваем актуально бесконечное множество, то вопрос о его количественной мере и его соотношении с конечными числами должен уже решаться специальным образом.
БЕСКОНЕЧНОЕ В ИСТОРИИ ФИЛОСОФИИ. Античная мысль в основном рассматривает бесконечное как неоформленное, как не ставшее и, следовательно, несовершенное. В пифагорейском списке противоположностей бесконечное стоит на стороне дурного (злого). Бытие в античной мысли связано с категорией меры и предела. Бесконечное выступает как беспредельное, безграничное, почти не существующее – μὴὄν и потому есть нечто близкое к хаосу, а иногда и отождествляется с ним. Бесконечное сближается у Платона и Аристотеля с категорией материи как бесформенным и в силу этого как бы несуществующим. Бытие вещи доставляется идеей (или формой), которая ограничивает бесконечное, осуществляя «вписывание» вещи в упорядоченное единство Космоса.
В то же время в античной философии были мыслители, которые более позитивно используют категорию бесконечного. Прежде всего к ним относится Анаксимандр, у которого главным началом космологии служит апейрон (греч. ἄπειρον – букв. без-граничное), из которого возникают и в который возвращаются все вещи (однако по известным фрагментам не совсем ясно, является ли апейрон высшим бытийственным началом или только хаотической смесью основных элементов). Кроме того, здесь нужно назвать атомистов Левкиппа и Демокрита, у которых бесконечное пустое пространство содержит бесконечное количество атомов, образующих бесконечное количество миров. Однако господствующее отношение к бесконечному в античности все же иное. В окончательном виде оно было выражено Аристотелем. Для Аристотеля бесконечное существует только потенциально как возможность безграничного изменения: «Вообще говоря, бесконечное существует таким образом, что всегда берется иное и иное, а взятое всегда бывает конечным, но всегда разным и разным. Так что бесконечное не следует брать как определенный предмет, например, как человека или дом, а в том смысле, как говорится о дне или состязании, бытие которых не есть какая-либо сущность, а всегда находится в возникновении и уничтожении, и хотя оно конечно, но всегда разное и разное» (Физика 206 а, 28–35). Не существует ни актуально бесконечного тела (конечен сам космос), ни бесконечной последовательности причин (т.к. в противном случае, по Аристотелю, отсутствовала бы первоначальная истинная причина движения). Актуально бесконечное не дано ни чувствам, ни уму. Потенциальная бесконечность реализуется у Аристотеля для чисел в направлении возрастания – натуральный ряд, а для величин – в направлении убывания: потенциально бесконечное деление данного отрезка. Античная математика тоже мыслит свои «прямые» и «плоскости» как конечные, хотя и произвольно большие отрезки или куски плоскостей (в отличие от новоевропейской математики, в которой уже с 17 в. начинают рассматривать бесконечные прямые, напр. в проективной геометрии).
В неоплатонизме не без влияния восточной мистики пробивает себе дорогу новое положительное понимание бесконечного. Переходной ступенью служили здесь философские взгляды Филона Александрийского, давшего эллинистическую транскрипцию библейского понимания Божества. Единое у Плотина, стоящее выше Ума и, следовательно, выше всякой определенности и формы, в частности числа, не может быть названо бесконечным. Но Ум Плотин уже называет бесконечным в следующих смыслах: в смысле его бесконечного могущества, его единства и его самодостаточности. Все сущее оказывается тем самым между двумя бесконечностями: актуальной бесконечностью Ума и потенциальной бесконечностью мэональной материи, лишенной границ и формы и получающей свои определения только через «отражения» совершенств высшего бытия.
Существенный перелом в отношении бесконечного происходит с утверждением в европейской культуре христианства. Не только христианский Бог в себе оказывается актуально бесконечным, но и творение, в особенности человек как «образ Божий», несет на себе (в различной мере) отпечаток совершенств Творца. Однако это понимание утверждается не сразу. У Оригена еще налицо сильнейшая зависимость от основных постулатов греческой мысли: даже Бог не сможет быть бесконечным, т.к. бесконечное не имеет формы и не мыслимо. По Оригену, высшее совершенство Бога и его конечность необходимо связаны. Но уже Августин задает вопрос: неужели Бог не может мыслить всех чисел (натуральный ряд) разом? Конечность Бога несовместима, по Августину, с божественным достоинством. В отношении же тварного мира сдвиг происходит еще позднее. У Альберта Великого и Фомы Аквинского еще полностью господствуют аристотелевские запреты: в мире не может существовать актуальная бесконечность. Даже точки континуума существуют в нем только потенциально. «Легализация» актуальной бесконечности в тварном мире исторически была связана с обсуждением природы человеческой души, сотворенной по образу Божьему. В какой степени божественные совершенства отразились в человеческой душе? Дунс Скот настаивал, что человеческая душа по своей природе превосходит ту конечность, которая характерна для всего тварного: ведь человеческая душа способна воспринимать божественную благодать, т.е. самого бесконечного Бога. Значит, ей дарована адекватная предмету восприятия бесконечная воспринимающая способность. Еще дальше идут мистики. Экхарт прямо учит, что в глубине человеческой души имеется нетварная божественная «искорка». Как соприродная Богу, эта «искорка», естественно, актуально бесконечна. Подобное понимание образа Божьего прокладывало дорогу пантеизму и не раз осуждалось Католической церковью. Кардинал Николай Кузанский развивает учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. В рамках этого учения бесконечное, абсолютный максимум становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. Понимание соотношения бесконечного и конечного принципиально меняется по отношению к античному толкованию: если для последнего все конечное было актуальным, а бесконечное выступало лишь как потенциальное, то для Кузанца, наоборот, любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечной божественной возможности – бытия (possest). Аналогично и в рамках пантеизма Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи свое бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация. Божественная субстанция-природа имеет бесконечные атрибуты, в т.ч. протяженность и длительность. Время же, число и мера являются только конечными, или потенциально бесконечными средствами воображения. В анализе проблемы бесконечного Спиноза предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Г.Кантора.
Спекулятивная теология Николая Кузанского служит также основанием представлений и о бесконечности Вселенной. Бог является «основанием» мира: то, что содержится в Боге «в свернутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность Бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как и Бог, – мир не есть все, что может быть, – тем не менее его привативная бесконечность (не infinitum, a Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр Коперником геоцентрической системы и полемический талант Бруно помогают этому тезису Кузанца стать в высшей степени популярным к 18 в.
Декарт также поддерживал идею беспредельности мира: хотя и «недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ, – такова протяженность мира, делимость частей материи, число звезд и т.д.» (Первоначала философии, ч. I). Кроме того, по Декарту, бесконечна человеческая воля, являющаяся существенным признаком образа Божьего в человеческом существе. Именно несоответствие конечности человеческого разума и бесконечности воли служит, по Декарту, причиной ложных суждений. На фоне других философов 17 в. Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно прежде всего количество субстанций – монад – в универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. «Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» (Монадология, 67). В свою очередь каждая монада представляет в своих восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно-малых («подсознательных») восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и по существу непревзойденными все последующие три столетия. Несмотря на то что молодой Кант еще всецело разделял лейбницевскую точку зрения в отношении актуальной бесконечности, позже его взгляды резко меняются. В «Критике чистого разума» в силу кантовской философии математики оказываются невозможны ни бесконечное число, ни бесконечная величина. Мир же в отношении своих пространственных и временных характеристик выступает ни как конечный, ни как бесконечный, а как indefmitum – неопределенный. У Фихте, по-своему разрабатывавшего идею Экхарта о причастности человеческого духа к божественной сущности, вся природа выступает уже как бледное отражение истинной бесконечности, заключенной в абсолютном «Я». Фихте учил о становлении нового мира, точнее, целой последовательности миров, но не через катастрофический онтологический разрыв христианской теологии («Второе пришествие»), а в результате органически развивающегося процесса деятельности абсолютного «Я». В этой от века сущей потенциально бесконечной деятельности божественная природа абсолютного «Я» все яснее приходит к осознанию своей актуальной бесконечности. У Гегеля конечное и бесконечное являются лишь двумя терминами в его диалектической триаде. Простое отрицание конечного дает лишь «дурную бесконечность»: никогда не завершающийся переход от одного конечного к другому и представляет собой лишь «долженствование бесконечного». Истинная бесконечность должна диалектически снять оба соотнесенных момента, быть некоторым становлением, которое одновременно есть и самораскрытие. Истинно бесконечен у Гегеля, собственно, Абсолютный дух, который одновременно и актуально бесконечен, и осуществляет свое развитие через мир конечных духов. В 1851 вышла работа Б.Больцано «Парадоксы бесконечного», в которой делается попытка опровергнуть традиционные возражения против актуально бесконечного. В ней обсуждались понятия, ставшие в дальнейшем главными и для Кантора: различение потенциальной и актуальной бесконечности, трансфинитного и абсолютного и ряд других.
В 20 в. философские дискуссии вокруг проблем бесконечности соотносятся с теорией множеств и проблемой оснований математики. Таковы, напр., феноменологический подход к проблемам теории множеств у О.Беккера (Becker О. Mathematische Existenz. Halle, 1927); интерпретация проблем теории множеств как выражения классического конфликта между аристотелевским концептуализмом и платонистской традицией в математике у Л.Брюнсвика (Brunschvicq L. Les étapes de la philosophie mathématique. P., 1922); рассмотрение канторовской иерархии бесконечного на фоне концепции всеединства у Б.П.Вышеславцева (Вышеславцев Б.П. Этика преображенного эроса. М., 1994).
БЕСКОНЕЧНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ И ЛОГИКЕ. Использование актуальной бесконечности в математике настойчиво стремятся легализовать со 2-й пол. 19 в. В этом процессе большую роль сыграли труды Б.Больцано, К.Вейерштрасса, Р.Дедекинда и в особенности Г.Кантора. В их работах было систематизировано употребление понятия бесконечности в европейской традиции, выделены его основные аспекты и была предложена (Кантором) беспрецедентно дерзкая конструкция «шкалы бесконечностей», ведущая от самых простых типов бесконечности до бесконечности в Боге. Несмотря на то что конструкции Кантора, ставшие основанием всей современной математики, привели к перманентному кризису этого основания, продолжавшемуся весь 20 в., теория множеств представляется зрелым плодом взаимодействия центральных философских тем европейской культурной традиции. Трагические коллизии мысли, связанные с историей т.н. парадоксов теории множеств, представляют собой своеобразное раскрытие и саморазоблачение тех титанических импульсов, которые сыграли существенную роль в становлении новоевропейской науки и цивилизации в 15–17 вв.
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ КАНТОРА. Кантор развил определенную технику оперирования с актуально бесконечными множествами и построил определенный аналог понятия количества для бесконечных множеств. Основой этой техники служит понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами двух множеств. Говорят, что элементы двух множеств можно поставить во взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества можно поставить в соответствие элемент второго множества, разным – разные, и при этом каждый элемент второго множества будет соответствовать какому-то элементу первого. Про такие множества говорят, что они эквивалентны, что они имеют одинаковую мощность, или одинаковое кардинальное число. Если же можно доказать, что элементы множества А можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с элементами подмножества В1 множества В, а элементы множества В нельзя поставить во взаимнооднозначное соответствие с элементами А, то тогда говорят, что мощность множества В больше мощности множества А.Эти определения применимы и к конечным множествам. В этом случае мощность представляет собой аналог конечных чисел. Но бесконечные множества имеют в этом смысле парадоксальные свойства. Бесконечное множество оказывается эквивалентным своей части, напр. так, как это происходит в т.н. «парадоксе Галилея»:
1, 2, 3, 4, …, n, …
2, 4, 6, 8, …, 2n, …
Эти парадоксы были известны давно, и именно они, в частности, служили препятствием для рассмотрения актуально бесконечных множеств. То, что здесь просто сказывается специфика актуально бесконечного, объяснял в «Парадоксах бесконечного» Больцано. Дедекинд считал это свойство актуально бесконечных множеств характеристическим.
Кантор развивает арифметику кардинальных чисел. Суммой двух кардинальных чисел является мощность объединения соответствующих им множеств, произведением – мощность т.н. множества-произведения двух данных множеств и т.д. Важнейшим оказывается переход от данного множества к множеству-степени, т.е., по определению, к множеству всех подмножеств исходного множества. Кантор доказывает основополагающую для его теории теорему: мощность множества-степени больше мощности исходного множества. Если мощность исходного множества записать через а, то в соответствии с арифметикой кардинальных чисел мощность множества-степени будет 2a, и мы имеем, следовательно, 2a >а.
Значит, переходя от некоторого бесконечного множества, напр. от множества всех натуральных чисел, имеющего мощность ℵα (обозначение Кантора) к множеству всех подмножеств этого множества, к множеству всех подмножеств этого нового множества и т.д., мы будем получать ряд множеств все более возрастающей мощности. Есть ли какой-то предел этому возрастанию? Ответить на этот вопрос можно, только введя в рассмотрение некоторые дополнительные понятия.
Оперировать с бесконечными множествами, лишенными всякой дополнительной структуры, вообще говоря, невозможно. Поэтому Кантор ввел в рассмотрение упорядоченные множества, т.е. множества, для любых двух элементов которых определено отношение «больше» > (или «меньше» <). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:
0 1 2 … ω0, ω0 + 1 … ω1… ω2 … ωn … ωω0 … Ω (ординалы)
0 1 2 … ℵ0 … ℵ1 … ℵ2 ℵn …ℵ ω0 … τ («тау»-кардиналы)
Согласно теоремам теории множеств любой «отрезок» шкалы Ω ординальных чисел, сам как множество вполне упорядоченное, будет иметь больший ординал, чем все заключенные в этом отрезке. Отсюда вытекает, что невозможно рассматривать все Ω как множество, т.к. в противном случае Ω имело бы своим ординалом β, которое больше всех ординалов в Ω, но поскольку последнее содержит все ординалы, т.е. и β, то было бы: β > β (парадокс Бурали – Форти, 1897). Кантор стремился обойти этот парадокс введением (с 1880-х гг.) понятия консистентноcсти. Не любая множественность (Vielheit) есть множество (Menge). Множественность называется консистентной, или множеством, если ее можно рассматривать, как законченное целое. Если же допущение «совместного бытия» всех элементов множественности ведет к противоречию, то множественность оказывается неконсистентной, и ее, собственно, нельзя рассматривать в теории множеств. Такими неконсистентными множествами оказываются, в частности, Ω – множество всех ординальных чисел и τ («тау») – множество всех кардиналов («алефов»). Тем самым мы опять возвращаемся к бесконечности как к процессу. Как пишет математик 20 в. П.Вопенка: «Теория множеств, усилия которой были направлены на актуализацию потенциальной бесконечности, оказалась неспособной потенциальность устранить, а только смогла переместить ее в более высокую сферу» (Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. – «Новое в зарубежной науке. Математика», 1983, № 31, с. 124.) Это не смущало, однако, самого Кантора. Он считал, что шкала «алефов» поднимается до бесконечности самого Бога и поэтому то, что последняя оказывается математически невыразимой, было для него само сабой разумеющимся: «Я никогда не исходил из какого-либо «Genus supremum» актуальной бесконечности. Совсем наоборот, я строго доказал абсолютное несуществование «Genus supremum» для актуальной бесконечности. То, что превосходит все бесконечное и трансфинитное, не есть «Genus»; это есть единственное, в высшей степени индивидуальное единство, в которое включено все, которое включает «Абсолютное», непостижимое для человеческого понимания. Это есть «Actus Purissimus», которое многими называется Богом» (Meschkowski H. Zwei unveroffentlichte Briefe Georg Cantors. – «Der Mathematilkuntemcht», 1971, № 4, S. 30–34).
ПАРАДОКСЫ И ТРУДНОСТИ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. С 90-х гг. 19 в. начинается широкое обсуждение парадоксов теории множеств. Кроме парадокса Бурали – Форти существует парадокс Рассела, вскрывающий сложную логическую природу понятия бесконечного множества. Анализируя канторовскую теорему о множестве-степени, Рассел выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Напр., множество всех множеств не будет таковым, а множество натуральных чисел – будет. Однако в отношении множества всех множеств, не являющихся элементами самого себя, мы уже не можем решить, будет ли оно обладать свойством не являться своим элементом или нет. Оба ответа ведут к противоречию. Подобные размышления привели Рассела к выделению предикативных и непредикативных свойств множеств, и построению т.н. теории типов, которую он развивал совместно с Уайтхедом. Можно привести также формулировку парадокса Банаха – Тарского, который хотя и не относится непосредственно к теории множеств, но характеризует ту математику, которая вытекает из этой теории. Парадокс формулируется так: можно разбить шар на конечное число частей, которые можно переставить так, что получатся два шара такого же размера, как и исходный шар.
Теория множеств оказалась естественным языком для решения стоявшей веками задачи арифметизации континуума. Во 2-й пол. 19 в. было предложено несколько арифметических конструкций действительных чисел (К. Вейерштрасс, Р.Дедекинд, Г.Кантор). Мощность получающихся числовых моделей континуума оказывалась равна 2ℵ0. Кантор предположил, что 2ℵ0 = ℵ1 – наименьшая из мощностей, больших ℵ0 – мощности множества натуральных чисел: {1,2,3,…}. Это утверждение и называется континуум-гипотезой. Но несмотря на пламенную веру Кантора в истинность этого результата, ни ему, ни последующим математикам не удалось доказать этого факта. Более того, в 1963 П.Коэн доказал, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Другими словами, континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Философский смысл этих результатов в том, что если мощность континуума равна какому-то «алефу», (не обязательно № 1, т.е. обобщенная континуум-гипотеза), то континуум «конструируется из точек». Сам же Коэн считал, что континуум-гипотеза скорее всего не верна, что континуум «рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения» (Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969, с. 282).
Другой классической проблемой теории множеств является аксиома выбора. Она формулируется следующим образом: дано некоторое, вообще говоря, бесконечное множество множеств. Существует функция, ставящая в соответствие каждому множеству один его элемент (выбирающая из каждого множества по элементу). Несмотря на простоту формулировки аксиомы выбора, трудно представить, как бы можно было ее доказать. В то же время от этой аксиомы зависит большое множество теорем анализа, а в самой теории множеств – доказательство фундаментальной теоремы Цермело о возможности сравнения мощностей различных множеств. Благодаря работам Геделя (1939) и Коэна (1963) было установлено, что аксиома выбора независима от корпуса других аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Вместо аксиомы выбора были предложены альтернативные аксиомы, напр. аксиома детерминированности. При изменении аксиом теории множеств, естественно, меняется и характер математики, построенной на базе этой теории множеств.
ХРИСТИАНСКАЯ ТЕОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. В соответствии с пониманием святых отцов христианский Бог-Троица непостижим в своей сущности, но познается в откровении в своих энергиях. Энергии открывают человеку имена Божии, которые характеризуют Его в отношении к миру. Эти имена – Всемогущий, Всеблагой, Всевидящий и т.п. – характеризуют бесконечную мощь божественных проявлений, рядом с которой все аналогичные тварные свойства оказываются, вообще говоря, конечными. В пантеистических системах божественным оказывается сам мир; различие между трансцендентной сущностью и энергиями игнорируется, и сам мир наделяется бесконечными характеристиками. Так, напр., у Спинозы протяженность и длительность как атрибуты божественной субстанции природы будут бесконечны. Создатель теории множеств Кантор пытался дать и богословское применение своим конструкциям с актуальной бесконечностью (Кантор вообще считал теорию множеств относящейся столько же к метафизике, сколько и к математике).
Он различал три типа бесконечного: бесконечное в Боге («в уме Бога») – Абсолютное, в тварном мире – Трансфинитное, в уме человека – трансфинитные числа (ординалы). Несмотря на то что в канторовской философии математики критерием научности служила лишь логическая непротиворечивость, для оправдания теории множеств, Кантор нуждался в доказательствах существования трансфинитного (бесконечного в мире). Это не только служило бы опровержению аристотелевской догмы, но и явилось опорой для его программы развертывания новых подходов в физике и химии на основе теории множеств. Кантор пытался толковать известное место из Книги Премудрости Соломона, XI, ст. 21: «Ты все расположил мерою, числом и весом» – как подтверждение существования трансфинитного в мире. «Здесь не стоит in numero finite», – писал Кантор (Meschkowski H. Aus den Briefbuchern Georg Cantor. – «Archive for History of Exact Sciences», 1965, v. 2, N 6, p. 503–519). Кантор также пытался доказать существование трансфинитного в мире как более подобающего бесконечному и всемогущему Богу. Это вызвало справедливую критику католических теологов, обвинявших Кантора в наклонности к пантеизму.
Литература:
1. Фрагменты ранних греческих философов, ч. 1. М., 1989;
2. Николай Кузанский. Об ученом незнании. – Николай Кузанский. Соч. в 2 т., т. 1. М., 1979;
3. Бруно Дж. О бесконечности, вселенной и мирах. – В кн.: Он же. Диалоги. М., 1949;
4. Лейбниц Г.В. Соч. в 4 т., т. 1. М., 1982;
5. Декарт Р. Первоначала философии. – Он же. Соч. в 2 т., т. 1. М., 1989;
6. Локк Дж. Опыт о человеческом разумении. – Он же. Соч. в 3 т., т. 1. М., 1985;
7. Кант И. Критика чистого разума. – Он же. Соч. в 6 т., т. 3. М., 1964;
8. Гегель Г.В.Ф. Наука логики, т. 1. М., 1970;
9. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911;
10. Флоренский А. Соч. в 4 т., т. 1. М., 1994;
11. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки, т. 1–2. М., 1980–87;
12. Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985;
13. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1923;
14. Гедель К. Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств. – «Успехи математических наук», 1948, № 1;
15. Френкель Α., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966;
16. Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М., 1969;
Аристотель первым предложил различать два вида бесконечности: 1) потенциальную бесконечность сущего и 2) бесконечность актуальную, т. е. уже свершившуюся, реализованную. По его мнению, понятие потенциальной бесконечности (например, бесконечного универсума или натурального ряда чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.) не противоречит здравому миропониманию. Напротив, понятие актуальной бесконечности, т. е. бесконечности, уже реализовавшейся в данном интервале пространства и времени (например, понятие бесконечной плотности тела или яркости света), не верифицируемо нашим опытом, не отвечает здравому смыслу, поэтому от такого понятия следует отказаться. Разве что теологам и философам позволительно рассуждать о божественной актуальной бесконечности.
Если предположить, что космос имеет начало в глубокой древности и будет существовать вечно, то его конечный возраст потенциально бесконечен и в конце концов превзойдет любое число лет. Если же космос существовал всегда, то его возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аристотель пришел к мнению, что актуальная бесконечность вовсе не нужна математикам, и предпочитал мыслить бесконечность только как потенцию, становление, т. с. в форме процесса неограниченных количественных изменений.
Николай Кузанский учил, что в бесконечности совпадают между собой максимум и минимум, сливаются противоположности, сама же бесконечность «постигается непостигаемо», через «ученое незнание». Дж. Бруно считал Вселенную единой — не имеющей частей, сплошной и актуально бесконечной. По его мнению, Вселенная вечна, в ней возможное и действительное совпадают; поскольку ей некуда двигаться, то она неподвижна. Б. Паскаль учил, что актуальная бесконечность бездонна: сколько к ней не прибавляй любое число и сколько из нее не вычитай, она остается той же самой, т. е. не увеличивается и не уменьшается. Такого рода бесконечность есть «непроглядный мрак темноты». Паскаль говорил, что человек с трудом удерживается на грани «бездны бесконечности и бездны небытия», и неисчерпаемую бесконечность можно лишь безмолвно созерцать.
Гегель отличил понятие истинной (качественной) бесконечности от понятия «дурной» (в смысле занудно-безграничного увеличения количества) бесконечности. В истинной бесконечности он предложил умосозерцать направленную процессуальность конечного, а именно процесс выхода конечного за рамки присущей ему меры — из своего прежнего наличного бытия через небытие в новое и более мощное наличное бытие.
Г. И. Рузавин обращает внимание на то, что потенциальная бесконечность представляется математикам более интуитивно ясной, чем актуальная бесконечность (см.: Рузавин Г. И. О природе математического знания. М., 1963. С. 117-118). Л. Е. Балашов подмечает, что поскольку актуальная бесконечность находится как бы внутри конечного, то ее завершенность воспринимается как оконеченность, т. е. как ее уничтожение. Потенциальная бесконечность, которая тоже означает «выход за пределы», является по сути переряженным конечным или негативным отпечатком конечного. «Правда, в отличие от конечного, в ней акцент делается не на «пределах”, а на «выходе за”. Как видим, не актуальная бесконечность ближе к конечному, а потенциальная» {Балашов Л. Е. Практическая философия. М., 2001. С. 113-114).
Естествоиспытатели нередко пользуются простейшей абстракцией практической бесконечности, основанной на отождествлении бесконечности либо с очень большой, либо с очень малой величиной. В математике важную роль выполняют понятия бесконечно малой и бесконечно большой величины. Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Алгебраическая сумма либо произведение конечного числа бесконечно малых функций считаются тоже бесконечно малой функцией. Бесконечно большая — это числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определенного знака. Переменную X можно назвать бесконечно большой, если для всякого положительного числа С существует такое значение Х0, что каждое следующее за ним X будет по абсолютной величине больше С. Это записывается так: X —? оо. Знак бесконечности оо был введен в математику в 1655 г. (Дж. Валлис).
БЕСКОНЕЧНОСТЬ — 1) в широком смысле — философская категория, используемая для описания неисчерпаемости материи и движения; 2) в узком смысле — одно из важнейших понятий философии математики. В философском плане Б. может быть естественно определена через понятие конечного, а именно как возможность выхода за пределы конечного, которая неизбежно предполагается уже в самых первых представлениях арифметики и геометрии. Эта же идея лежит и в основе более строгих математических определений бесконечного, которые формулируются по-разному в различных математических теориях. Математическое мышление органически связано с идеей бесконечного в том смысле, что без допущений о возможности выхода за пределы конечного математическое рассуждение вообще не могло бы осуществляться.
В философии математики принято разделять два вида Б.: потенциальную, состоящую в возможности постепенного увеличения конечного, и актуальную, состоящую в допущении существования бесконечного множества как завершенного.
Еще в древности философы высказывались за недопустимость в математике понятия актуальной Б. Аристотель считал, что завершенная Б. непознаваема и не поддается представлению. Аналогичного мнения на этот счет придерживались Н. Кузанский, Г.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский, Л. Кронекер. Тем не менее практика математического мышления привела к необходимости оперировать завершенными Б. и принимать мате-матические теории, существенно основанные на понятии актуальной Б. Теория множеств, построенная Г. Кантором в 70—80-е гг. XIX в., с самого начала исходит из определения операций с бесконечными множествами как с законченными, заданными в своей мощности.
Философия математики XX в. существенно связана с анализом понятия Б. Появление парадоксов в теории множеств привело к мысли, что использование понятия бесконечного множества в математике нуждается в ограничениях, которые вытекают из природы математического мышления. В подходах к решению этой задачи, предложенных в начале XX в., предполагалось, что обоснование бесконечного в математике должно быть произведено на основе конечного (финитский подход). Наиболее впечатляющая попытка такого обоснования была намечена Д. Гильбертом в его программе формалистского обоснования математики (формализм). Замысел этой программы состоял в том, чтобы обосновать непротиворечивость теорий, использующих понятие актуальной бесконечности, в рамках метатеории, в которой это понятие отсутствует. Таким образом, предполагалось оправдать бесконечность в математике как полезную и безвредную конструкцию, расширяющую внутренние возможности математического мышления. Поскольку этот замысел оказался невыполнимым, то проблема обоснования Б. в математике продолжает оставаться актуальной и в настоящее время.
Анализ возможностей сведения бесконечного к конечному остается основным направлением исследования понятия бесконечности и в настоящее время. Вместе с тем в рамках платонистской философии математики выдвигаются идеи о том, что понятия, связанные с Б., должны получить, по крайней мере в некоторых случаях, непосредственное обоснование. Таким образом, в настоящее время существуют финитский и реалистический (платонистский) подходы к обоснованию понятия Б. в математике. В наиболее определенной форме идея непосредственного оправдания бесконечных множеств на основе их реалистического истолкования была намечена К. Гёделем.
Современная философия математики не связывает понятие Б. в математике с какой- либо содержательной основой, с существованием реальной Б. в мире. Она исходит из того, что бесконечность в математике — исключительно мысленная конструкция, выполняющая определенную функцию в систематизации математических операций, которая была бы необходимой даже в том случае, если бы мироздание оказалось конечным в неком существенном смысле. Это значит, что современная философия математики берет это понятие преимущественно в гносеологическом плане, рассматривая его как элемент понятийных систем, и отделяет проблему математической Б. от проблемы Б. в физике и в философии. Попытки оправдать факты использования понятия Б. в математике из ряда допущений об устройстве мира с этой точки зрения не могут быть приняты как законные.
Литература:
Аристотель. Метафизика. Кн. III; Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911; Гильберт Д. О бесконечном / Основания геометрии. М., 1948; Shaughan Lavine Understanding the Infinite. L., 1994; Гёдель К. Расселовская философия математики / Рассел Б. Введение в математическую философию. Новосибирск, 1996; Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М.,1997.
Словарь философских терминов. Научная редакция профессора В.Г. Кузнецова. М., ИНФРА-М, 2007, с. 46-47.